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Physics

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Fermions/Bosons-intrication-mesure :
particules vos papiers

- Nous sommes tous différents les uns des autres
- Non, pas moi ! Monty Python, La vie de Brian.

Introduction

La citation extraite de La vie de Brian nous présente une situation paradoxale : comment un individu dans une assemblée peut-il ne pas être différent de tous les autres qui eux le sont ? L’extrait des Monty Python nous révèle à la fois un absurde comique, et un troublant manque de symétrie.
Car si l’on inverse la situation, la citation devient :

- Nous sommes tous les mêmes
- Non, pas moi !

et n’a plus rien de paradoxal. On est passé de l’humour britannique au culte du héros hollywoodien : il n’y a aucune difficulté, dans notre culture classique à imaginer un être différent de tous les autres, eux-mêmes égaux entre eux. Mais un être qui n’est pas différent de tous les autres qui le sont entre eux, seule la Mécanique Quantique peut le faire.
Les bosons aiment bien être tous dans le même état, les fermions ne le supportent pas. La situation du film des Monty Python est bien celle d’un boson plongé dans une assemblée de fermions. Cette dualité identitaire s’observe facilement dans le monde quantique, et est même primordiale. Il est en effet probable que la matière qui nous entoure ne serait pas stable si elle était constituée de bosons. Mais ce qui est tout à fait remarquable est qu’une propriété intrinsèque de particules, leur spin, gouverne ce comportement collectif.
La Mécanique Quantique, dans son besoin généreux de rétablir les symétries, plonge dans la réalité de la même façon l’humour britannique et Hollywood.
Mais si elle décerne ainsi des identités que le monde classique trouve extravagantes, elle n’en refuse pas moins une identité élémentaire aux particules dans un état intriqué, c’est-à-dire non factorisable. Ce phénomène d’intrication, que la Mécanique Quantique crée à loisir dès qu’il y a interaction, peut cependant être brisé à tout instant par l’opération de mesure qui rétablit...

Voyage dans le non commutatif

Introduction

Le mot « noncommutatif » aura certainement été l’un des plus représentatifs de la fécondité des mathématiques au XXième siècle. Si la dichotomie commutatif/noncommutatif est présente au XIXième siècle, dés l’avènement de la théorie des groupes, ce que l’on appelle de nos jours les mathématiques non commutatives ont pris tout leur essor après que la nouvelle mécanique adaptée au monde à l’échelle atomique ait vu le jour. La Mécanique Quantique a dessiné une ontologie du non commutatif en mathématique, tout comme elle a créé un nouveau paradigme physique pour notre perception du monde.
D’un point de vue philosophique il est étrange que la négation d’un concept, d’une formule, devienne aussi positivement ancrée dans un aspect conceptuel presque universel : en principe, puisque le « commutatif » est un, le non commutatif devrait être multiple. Or on parle souvent du commutatif et du non commutatif, comme s’il n’y avait qu’une seule occurrence de ce dernier. Cela traduit, il me semble, le changement de paradigme profond que représente l’abandon, dans une théorie physique ou domaine des mathématiques le postulat $[A,B]=0$.

Faut-il voir $[A,B]=0$ ou bien $[A,B]\neq0$ comme une contrainte ?

D’autre part, si deux matrices données $A$ et $B$ commutent ou bien ne commutent pas entre elles, il s’avère qu’il existe des familles de matrices qui commutent presque, offrant ainsi la possibilité d’une transition du non commutatif vers le commutatif. Cette transition est difficile et offre une richesse extrême, trace selon nous de la profondeur du changement paradigmatique entre le commutatif et le non commutatif. Nous allons essayer d’en donner quelques exemples.

1. Deux écueils post-newtoniens

Nous avons tous appris à l’école que nous vivons dans un espace euclidien constitué de points matériels formant les trajectoires des corps matériels en mouvement qui nous entourent.
Nous avons aussi appris que si la lune suit les...